练习：线性映射

首先：如果\(T\)是线性的，必有\(T(0) = 0\)，从而有\((b,0) = (0,0)\)，即\(b=0\)。

另外有\(T(1,1,1) = T(1,1,0) + T(0,0,1)\)，推出\((1+b,6+c) = (-2+b,6) + (3+b,0)\)，即有\(c+0\)

接下来证明\(b=c=0\)所以\(T\)是线性的。因为\(b=c=0\)，则\(T\)可以写成： \[T(x,y,z) = (2x-4y+3z,6x)\] 这个映射是如下线性映射的特例。

从\(\mathbf{F}^{n}\)到\(\mathbf{F}^{m}\)，设\(m,n\)是正整数，\(A_{j,k}\in \mathbf{F},j = 1,\ldots ,m,k=1,\ldots ,n\)，定义\(T\in \mathcal{L}(\mathbf{F}^{n}, \mathbf{F}^{m})\)为：

\begin{equation} \label{eq:201704033} T(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}) = (A_{1,1}x_{1} + \ldots + A_{1,n}x_{n}, \ldots , A_{m,1}x_{1} + \ldots + A_{m,n}x_{n}) \end{equation}

式\ref{eq:201704033}可以写成矩阵的形式为：

\begin{equation} \label{eq:201704034} \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \ldots & A_{1,n} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & \ldots & A_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \ldots & A_{m,n} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} \end{equation}

假设\(p,q\in \mathcal{P}(R)\)，若\(T\)是线性映射则有： \[T(p + q) = Tp + Tq\] 把(\ref{eq:201704041})带入上式，可得\(b=c=0\)

然后证明假设\(b=c=0\) ,\(T\)是线性映射。按照线性映射的定义来。把定义附在下面，证明过程略。

我们这里准备提前使用一下矩阵的概念。

\begin{equation} \label{eq:201704043} T(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}) = (A_{1,1}x_{1} + \ldots + A_{1,n}x_{n}, \ldots , A_{m,1}x_{1} + \ldots + A_{m,n}x_{n}) \end{equation}

式\ref{eq:201704043}可以写成矩阵的形式为：

\begin{equation} \label{eq:201704044} \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \ldots & A_{1,n} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & \ldots & A_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \ldots & A_{m,n} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} \end{equation}

令：

\begin{equation} \label{eq:201704047} \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{m} \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:201704045} \mathbf{A} = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \ldots & A_{1,n} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & \ldots & A_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \ldots & A_{m,n} \\ \end{bmatrix} \end{equation} \begin{equation} \label{eq:201704046} \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} \end{equation}

则有\(\mathbf{y} = \mathbf{Ax}\)

进而\(\mathbf{y_{1} + y_{2}} = \mathbf{A(x_{1} + x_{2})}\)

假设存在\(a_{i}\in \mathbf{F},i=1,\ldots ,m\)使得：

\begin{equation} \label{eq:201704048} a_{1}v_{1} + \ldots + a_{m}v_{m} = 0 \end{equation}

则对两边使用线性映射：

\begin{equation} \label{eq:201704049} T(a_{1}v_{1} + \ldots + a_{m}v_{m}) = T(0)=0 \end{equation}

根据线性映射的齐次可加性有：

\begin{equation} \label{eq:2017040410} a_{1} T(v_{1}) + \ldots + a_{m}T(v_{m}) = 0 \end{equation}

因为\(T(v_{1}),\ldots ,T(v_{m})\)是线性无关的，所以有\(a_{i} = 0,i=1,\ldots ,m\)

即证明了\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是线性无关的。

因为\(\dim V = 1\)，说明\(V\)的基只有一个向量，即\(V\)中的任何一个向量都可以写成另一个非零向量的标量形式，即\(Tu = au\)。

现在考虑特定的 \(v\in V,v = bu\)，则有：

\begin{eqnarray*} Tv&=&T(bu) \\ &=&bT(u) \\ &=&bau \\ &=&abu\\ &=&av \end{eqnarray*}

令\(\phi(x,y) = \sqrt[3]{x^{3} + y^{3}} \) 。

这个函数满足齐次性，对于\(\phi(\lambda(x,y))\)，有：

\begin{eqnarray*} \phi(\lambda x,\lambda y) &=& \sqrt[3]{(\lambda x)^{3} + (\lambda y)^{3}} \\ &=& \lambda \sqrt[3]{x^{3} + y^{3}} \\ &=& \lambda \phi (x,y) \end{eqnarray*}

即\(\phi\)满足齐次性。但是\(\phi\)不满足可加性，即

\begin{eqnarray*} \phi(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})&\neq& \phi(x_{1},y_{1}) + \phi(x_{2},y_{2}) \\ \end{eqnarray*}

想到了\(\varphi(z) = \Re(z)\)满足

\begin{equation} \label{eq:2017040414} \varphi(u+v) = \varphi(u) + \varphi(v) \end{equation}

但是对于\(i\in \mathbf{F}\)，有:

\begin{equation} \label{eq:2017040415} \varphi(i u) \neq i\varphi(u) \end{equation}

这个问题在复数域上很好证明，但是在实数域上暂时还没有想到什么好办法。因为实数域上的加法和标量乘法是等效的，即\(\lambda u = \underbrace{u+\ldots +u}_{\lambda}\)

首先我们选择\(u\in U\)满足\(Su\neq 0\)，然后选择\(v\in V\)使得\(v\notin U\)，那么肯定有\(u+v\notin U\)

不然的话就会有\(v = (u+v) - u \in U\)，产生矛盾。因此\(u+v\notin U\). 又因为\(u\in U\),且\(U\)是\(V\)的子空间，所以\(u\in V\)，所以\(u+v \in V\)，综上有\(u+v \in V \) \(u+v \notin U \)

那么有\(T(u+v) = 0\)，但是\(Tu + Tv = Su + 0 \neq 0\)，所以\(T\)不满足可加性。即\(T\)不是线性映射

首先因为\(U\)是\(V\)的子空间，\(\dim U \leq \dim V\),我们可以找到\(U\)的一个基\(\mathcal{U}\)，通过对\(\mathcal{U}\)扩展\(\dim V-\dim U\)个线性无关组，我们可以得到\(V\)的一个基\(\mathcal{V}\)。所以根据3.5存在一个唯一的线性映射\(T:V\rightarrow W\)，并且满足：

\begin{equation} \label{eq:2017040412} Tu_{i} = Su_{i},Tv_{i} = 0 \end{equation}

其中\(i\in \{1,\ldots ,\dim U\}\)，\(j\in \{\dim U +1,\ldots ,\dim V\}\)

对于所有的\(u = a_{1}u_{1} + \ldots + a_{\dim U}u_{\dim U} , a_{i}\in \mathbf{F}\)，有：

\begin{eqnarray} \label{eq:2017040417} Tu&=&T(a_{1}u_{1} + \ldots + a_{\dim U}u_{\dim U}) \\ &=&a_{1}T(u_{1}) + \ldots + a_{\dim U}T(u_{\dim U}) \\ &=&a_{1}S(u_{1}) + \ldots + a_{\dim U}S(u_{\dim U}) \\ &=&S(a_{1}u_{1} + \ldots + a_{\dim U}u_{\dim U}) \\ &=&Su \end{eqnarray}

关于无限维空间我们之前做过一个证明：\(V\)是无限维的当且仅当\(V\)中存在一个向量序列\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)使得当\(m\)是任意整数时\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)都是线性无关的。

在这里我们令\(U= \mathcal{L}(V,W)\)，即\(U\)是所有从\(V\)到\(W\)的线性映射的集合。由于\(W\)是无限维的，所以在\(W\)中存在\(w_{i},w_{2},\ldots \)向量组使得对于任何的\(m\)都有\(w_{1},\ldots ,w_{m}\)是线性独立的。

接下来定义\(T_{i}\in \{V,W\}\)满足\(T_{i}(v_{1}) = w_{i} \). \(T_{i}\)保证存在，但是不一定唯一。我们接下来证明对任意\(m\)都有\(T_{i}\)是线性独立的。

假设\(\exists a_{i}\in \mathbf{F},i=1,\ldots ,m\) ,满足：

\begin{equation} \label{eq:2017040418} a_{1}T_{1} + \ldots + a_{m}T_{m} = 0 \end{equation}

则有：

\begin{equation} \label{eq:2017040419} (a_{1}T_{1} + \ldots + a_{m}T_{m})(v_{1}) = 0 \end{equation}

因为\(0\)映射，映射所有的元素到\(0\). 接着式(\ref{eq:2017040419})，推导，我们有：

\begin{equation} \label{eq:2017040420} a_{1}(T_{1}v_{1}) + \ldots + a_{m}(T_{m}v_{1}) = 0 \end{equation}

因为\(T_{i}(v_{1}) = w_{i}\)，所以：

\begin{equation} \label{eq:2017040421} a_{1}w_{1} + \ldots + a_{m}w_{m}= 0 \end{equation}

因为\(w_{i}\)是线性无关的，所以有\(a_{i}=0,i=\{1,\ldots ,m\}\)

结合式(\ref{eq:2017040418})我们有：\(T_{i},\ldots ,T_{m}\)是线性独立的。因为\(m\)是我们选的任意整数，则有\(\mathcal{L}(V,W)\)是无限维的。

通过这个题目和上一个题目在处理线性映射空间上的映射时需要把3.5的证明过程烂熟于心啊。要能够构造一些映射关系。

我们采用3.A.11,3.A.12类似的方法，构造一个映射不是线性的即可。

因为\(W\neq 0\)，所以我们可以定义\(T:V\rightarrow W\)，使得：

\begin{equation} \label{eq:2017040422} T(a_{1}v_{1} + \ldots + a_{m}v_{m}) = a_{1}w_{1} + \ldots + a_{m}w_{m}, w_{j}\neq 0 \end{equation}

又因为\(v_{1},\ldots ,v_{m}\)是线性相关的所以存在不全为零的\(b_{i},i=1,\ldots ,m\)使得:

\begin{equation} \label{eq:2017040423} b_{1}v_{1} + \ldots + b_{m}v_{m} = 0 \end{equation}

则有：

\begin{equation} \label{eq:2017040424} T(b_{1}v_{1} + \ldots + b_{m}v_{m}) = 0 \end{equation}

根据\(T\)的定义：

\begin{equation} \label{eq:2017040425} T(b_{1}v_{1} + \ldots + b_{m}v_{m}) = b_{1}w_{1} + \ldots + b_{m}w_{m} \end{equation}

又因为\(w_{j}\neq 0\)，式(\ref{eq:2017040423})和式(\req{eq:2017040424})矛盾。因此\(T\)不是线性映射。

假设\(e_{1},\ldots ,e_{n}\)是\(V\)的一组基\(\dim V = n\)，定义\(T\in \mathcal{L}(V,V)\)满足：

\begin{equation} \label{eq:2017040426} Te_{1} = e_{2}, Te_{2} = e_{1}, Te_{i} = e_{i}, i > 2 \end{equation}

定义\(S\in \mathcal{L}(V,V)\)满足：

\begin{equation} \label{eq:2017040427} Se_{1} = e_{1}, Se_{2} = 2 e_{2}, Se_{i} = e_{i}, i > 2 \end{equation}

则有\(TS(e_{1}) = e_{2},TS(e_{2}) = 2e_{1}\) \(ST(e_{1}) = 2e_{2},ST(e_{2}) = 2e_{1}\)

\(TSe_{1} \neq STe_{1}\)