指数分布

如果一个连续性随机变量的密度函数如下：\(\forall \lambda > 0\)，有：

\begin{equation} \label{eq:1} f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} \end{equation}

则称该随机变量是参数为\(\lambda\)的指数分布。指数随机变量的分布函数\(F(a)\)如下：

\begin{equation} \label{eq:2} F(a) = P\{x \leq a\} = \int_{0}^{a}\lambda e^{-\lambda x}dx = 1 - e^{-\lambda a}, a\geq 0 \end{equation}

令\(X\)是一参数为\(\lambda\)的指数随机变量，则\(\mathbb{E}[X]\)和\(\mathrm{Var}[X]\)的计算如下：

\begin{equation} \label{eq:3} \mathbb{E}[X^{n}] = \int_{0}^{\infty}x^{n}\lambda e^{-\lambda x}dx \end{equation}

利用分部积分我们可以得到：

\begin{equation} \label{eq:4} \mathbb{E}[X^{n}] = \frac{n}{\lambda}\mathbb{E}[X^{n-1}] \end{equation}

令\(n=1\)则有：

\begin{equation} \label{eq:5} \mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda} \end{equation}

令\(n=2\)则有：

\begin{equation} \label{eq:6} \mathbb{E}[X^{2}] = \frac{2}{\lambda^{2}} \end{equation}

因此：\(\mathrm{Var}[X] = \frac{1}{\lambda^{2}} \) 即指数分布的期望恰好等于参数\(\lambda\)的倒数，而方差等于期望的平方。

在实际生活中，指数分布通常用来描述某个时间发生的等待时间的分布，例如地震发生的时间间隔；一场战争发生的时间间隔；从现在开始到你接到下一个误拨的电话的时间间隔。

我们称一个非负随机变量\(X\)是无记忆的，如果：

\begin{equation} \label{eq:7} P\{ X > s + t | X > t\} = P\{ X > s \} \end{equation}

设\(X\)是某个设备的寿命，上式说明在已知该设备已经使用\(t\)小时的条件下寿命至少为\(s+t\)的概率与开始时寿命至少为\(s\)小时的概率是一样的。换句话说，如果该设备在使用\(t\)小时后还能使用，那么剩余的寿命同一开始时的寿命的分布是一样的。就好像该设备对已经使用了\(t\)小时是无记忆似的。

式 (\ref{eq:7})等效于：

\begin{equation} \label{eq:8} \frac{P\{X > s+t, X > t\}}{P\{X > t\}} = P\{ X > s \} \end{equation}

可以验证指数分布就是这样的无记忆分布。指数分布也叫作永远年轻的分布。